平面方程的四种表达方式总结

平面方程有四种表达方式分别是：截距式，点法式，一般式，法线式。

$A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0$

假设$\vec{n}=(A,B,C)$为平面的法向量，$M=(x,y,z)$为平面上任意一点，$M’=(x_0,y_0,z_0)$，则有$\vec{n}·\vec{MM’}=0$，则有

$A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0$

$Ax+By+Cz+D=0$

由点法式推出

$Ax + By + Cz - Ax_0 - By_0 - Cz_0 = 0$

令

$D = - Ax_0 - By_0 - Cz_0$

即推导出一般式

设平面方程为

$Ax+By+Cz+D=0$

若$D\ne0$，取$a=-\frac{D}{A}$,$b=-\frac{D}{B}$,$c=-\frac{D}{C}$，则得平面的截距式方程

$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{c}{z} = 1$

平面与三个轴的坐标分别为$P(a,0,0)$,$Q(0,b,0)$,$R(0,0,c)$，其中a,b,c依次称为该平面在x,y,z轴上的截距。

推导过程很简单平面与x轴的交点就是令$y=0$,$z=0$,所以$a=-\frac{D}{A}$，以此类推。

$x\cos\alpha + y\cos\beta + z\cos\gamma = d$

其中$\cos\alpha$、$\cos\beta$、$\cos\gamma$是平面法向量的方向余弦，$d$为原点到平面的距离。

其中

$\cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2\gamma=1$

假设原点到平面的法线为$\vec{on}$，平面上任意一点$p(x,y,z)$，平面上一点$p_0,(x_0,y_0,z_0)$，则有

$\vec{on}·\vec{pp_0} = 0$

又$\vec{pp_0} = \vec{op} - \vec{op_0}$，则

$\vec{on}·\vec{op}-\vec{on}·\vec{op_0} = 0$

设$\vec{on_0}$为单位法向量

$\vec{on_0}=(\cos\alpha, \cos\beta, \cos\gamma)$

且

$\cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2\gamma=1$

则

$\vec{on}·\vec{op}-\vec{on}·\vec{op_0} = \vec{on_0}·\vec{op}-\vec{on_0}·\vec{op_0}$

其中

$\vec{on_0}·\vec{op_0}=d$

（$\vec{on_0}·\vec{op_0}$相当于$\vec{op_0}$在法线方向上的余弦，即原点到平面距离$d$）

并且

$\vec{on_0}·\vec{op} = x\cos\alpha + y\cos\beta + z\cos\gamma$

所以

$x\cos\alpha + y\cos\beta + z\cos\gamma = d$

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